Iako je pojam topološke dimenzije stvorio strožu i općenitije primjenjivu definiciju, takva definicija i dalje ne daje prihvatljiv odgovor na pitanje o dimenziji iznimno složenih objekata kao što su fraktalne (a time i prirodne) strukture. Uzmimo primjer jednostavnog fraktala kao što je Kochova krivulja. Iako se na prvi pogled čini da joj je dimenzija jedan to baš i nije prihvatljivo. Ako pogledamo prvih par iteracija, stvar izgleda kao prosječna ravninska krivulja: analogno određivanju dimenzije pravca u prethodnom dijelu možemo reći topološka dimenzija našeg čudovišta jednaka jedan. Međutim, ne smijemo zaboraviti da je ona zapravo beskonačno puta prelomljena krivulja. Još jednom: beskonačno. Po definiciji, obična ravninska krivulja nema širinu, samo duljinu (zato je jednodimenzionalna), ali naše čudovište se zbog silnih lomova više po izgledu približava plohi (ima "širinu" veću od nula i duljinu). Ipak, pod povećalom, to je krivulja. Izgleda kao da živi negdje između dimenzija jedan i dva. Neprihvatljivo je u isti koš trpati nju i sve ostale pristojne krivulje.

Norma, metrika i metrički prostor

Prije nego što nastavim podsjetimo se nekoliko jednostavnih pojmova. U 2D euklidskom prostoru distancu $latex d$ između dvije točke možemo odrediti formulom poznatom još iz osnovne škole pod imenom Pitagorin poučak:

$latex d^2 = x^2 + y^2 $

Ovo se lako proširuje i na više dimenzija. Također, lako se vidi da ovako definirana, $latex d $ zadovoljava skup jednostavnih svojstava koji opisuju jednu klasu matematičkih veličina zvanih norma. U jednom te istom prostoru može postojati više veličina koje zadovoljavaju ova svojstva (više normi). Gore definirana norma naziva se euklidskom normom, ali u $latex E^2$ postoje i druge. Svaka norma u nekom prostoru definira jednu metriku. Svaki prostor u kojem je moguće definirati metriku naziva se metrički prostor. Što ovo sve znači? Pa, kako sam rekao stvar je jednostavna: ako imate metrički prostor onda imate mehanizam određivanja udaljenosti u njemu. Ako pak možete određivati udaljenosti možete definirati takozvane zatvorene diskove. Primjer: uzmite neku točku u ravnini i sve točke koje su od nje jednako udaljene. Dobit ćete kružnicu. Zatvoreni disk je ta kružnica i sve točke unutar nje. U $latex E^3$ diskovi bi zapravo bili kugle. Naravno, sve to pod pretpostavkom da koristite euklidsku normu. Kako sam rekao, moguće su i druge norme pa je moguće konstruirati takvu metriku u kojoj su zatvoreni diskovi u obliku kvadrata (kocki)...

Hausdorff-Besicovitcheva dimenzija

Uzmimo da imamo metrički prostor X (npr. kvadrat duljine stranice 1) Koliko zatvorenih diskova (u našem primjeru neka budu kvadrati) trebamo da bismo ga prekrili? Odgovor ovisi o tome koliko su veliki diskovi. Očito, ako je naš disk stranice 1 , treba nam 1 disk. Ako je disk duljine stranice $latex \frac{1}{2}$ trebaju nam 4 diska. Za disk duljine stranice $latex \frac{1}{3}$ treba nam 9 diskova... To pokazuje sljedeća slika:

Nazovimo veličinu kojom određujemo disk slovom $latex r$, a broj takvih potrebnih diskova $latex N(r)$. Vidimo da za gornji slučaj vrijedi:

$latex N(r) = \left( \frac{1}{r} \right) ^D$

te se Hausdorffova dimenzija računa kao:

$latex D = \dfrac{\log(N(r))}{\log(\frac{1}{r})} $

Što je gornjem primjeru:

$latex D \approx \dfrac{\log(4)}{\log(2)} = \dfrac{\log(9)}{\log(3)} = 2$

Općenitije zapravo vrijedi:

$latex D = \lim_{r \to \infty} \dfrac{\log(N(r))}{\log(\frac{1}{r})} $

a gornji primjer je aproksimacija koja ima svoju posebnu primjenu i ime, a o čemu nekoliko redaka kasnije. Pokazuje se da ovako definirana veličina ima sljedeća svojstva:

• daje potpuno jednake vrijednosti dimenzije za klasične topološke objekte, ali poopćuje topološku definiciju.
• ne mora uvijek biti cijeli broj
• iako je definirana u metričkom prostoru ne ovisi o metrici prostora u kojem se primjenjuje

Najpoznatija posljedica ovako definirane dimenzije je činjenica da ona ne mora biti cijeli broj (primijenjena na Kochovo čudovište daje dimenziju $latex \frac{log(4)}{log(3)} \approx 1.26 $). Ovo se često uzima kao jedno od osnovnih svojstava fraktala što nije u potpunosti točno. Prema Mandelbrotu fraktal je objekt čija je Hausdorffova dimenzija striktno veća od njegove topološke dimenzije. Ipak, čest je slučaj da je to zapravo realan, a ne prirodan, broj pa odatle zabuna.

Minkowski-Bouligand dimenzija
(poznata još i kao Box-counting dimenzija ili Packing dimenzija)

Iako je Hausdorffova dimenzija od velike teoretske važnosti, ona u praksi ima slabu primjenu. Naime, lako ju je izračunati kod fraktala koji su umjetno stvoreni. U takvom slučaju znamo kako se fraktal generira te možemo iz tog podatka odrediti $latex N(r)$ i $latex r $. Međutim, kod realnih fraktalnih struktura (npr. morske obale) to nije moguće. Umjesto toga, fraktal se prekriva mrežom kvadratića (eg. milimetarskim papirom) sve finije i finije razdiobe (dakle, umjesto da gledamo razdiobu fraktalnog generatora, mi univerzalno koristimo kvadratić bez obzira na to kakav je generator fraktala; naravno, čisto zato jer generator često ne možemo ni odrediti). Ovo daje jako jednostavan algoritam pri kojem se prebrojavanjem kvadratića koji prekrivaju danu strukturu određuje dimenzija prema formuli sličnoj gore navedenoj za Hausdorffovu dimenziju. Naravno, ovako određena dimenzija ima samo aproksimativnu vrijednost (pri čemu je aproksimacija to bolja što upotrijebimo sitniju razdiobu), međutim u praksi je to dovoljno. Primjer kako to izgleda možete vidjeti na slici ispod:

Fraktalne dimenzije

Iako su ovdje navedene dvije osnovne definicije fraktalne dimenzije, izvori na webu tvrde da ih ima (ili ih je barem moguće konstruirati) još. Nažalost, do detaljnijih podataka o tome nisam uspio doći.

Dimenzija fraktala je na neki način mjera njegove kompleksnosti. Za umjetno konstruirane fraktale kod kojih je samosličnost jako izražena sve definicije fraktalne dimenzije daju isti rezultat. Međutim, one ni u kom slučaju nisu ekvivalentne. S obzirom na enormnu kompleksnost objekata kojima se fraktalna geometrija bavi, bilo koja od tih definicija može dobro poslužiti u pojedinom slučaju, a biti gotovo potpuno beskorisna (u smislu realno neizračunljiva) u nekom drugom slučaju.

Spužva i zgužvani papir...

Ova dva primjera zapravo nisu fraktali ali dobro ilustriraju što se događa kad pokušamo odrediti dimenziju fraktalnih struktura. Njihova topološka dimenzija je često odmah intuitivno jasna, no kad taj podatak pokušamo upotrijebiti za nešto korisno, dolazi do problema u vidu kontradikcija (kao kod zgužvanog papira). Iako se čini evidentnim da, ako dimenzija nije ni jedan ni dva, mora biti nešto između, tek je Mandelbrot u sedamdesetim godinama prošlog stoljeća sistematizirao do tada poznato znanje i primjenio ga na objekte kojima je dopustio da imaju dimenzije koje nisu cijeli brojevi. Upravo zahvaljujući tom svojstvu razlomljene dimenzije fraktali su dobili ime (lat. fractus, nepravilna, razlomljena površina)

Reference:

• Wikipedia - Fractal dimension
• Wikipedia - Hausdorff dimension
• Wikipedia - Minkowski-Bouligand dimension
• Hrvatski Matematički časopis - Eksperimentalno određivanje fraktalne dimenzije (by H. Eklić)
• ChaosHypertextBook - Fractal dimension
• Fractal dimension of Koch snowflake
• Fracal dimension calculation
• Java applet koji demonstrira izračun Minkowski-Bouligand dimenzije morske obale

Topološka Dimenzija

Pod pojmom topološke dimenzije podrazumijeva se tzv. Lebesgueova prekrivajuća dimenzija (eng. Lebesgue covering dimension). Dimenzija topološkog prostora X se definira kao najmanji cijeli broj d takav da svako prekrivanje (eng. cover) prostora X otvorenim skupovima može biti rafinirano (eng. cover refinement, prijevod nije najsretniji ali trenutno nemam bolji) do te mjere da niti jedna točka prostora X nije u više od d + 1 podskupova danog prekrivanja. (Za formalnu definiciju v. reference članka). Prvo par primjera…

Promatrajmo pravac. Da bismo pravac potpuno prekrili s otvorenim podskupovima potrebna su nam barem dva njegova podskupa. Kako su ti podskupovi otvoreni (ne uključuju granične točke) moraju se, da bismo pokupili sve točke na pravcu, barem malo prekrivati. Stoga će se neke točke nalaziti istovremeno u oba podskupa. Ovo pak znači da je maksimalan broj pripadnosti neke točke podskupu jednak dva (d + 1 = 2). Dimenzija promatranog prostora je za jedan manja (d = 1) odnosno pravac je jednodimenzionalan. Ovo se vidi na sljedećoj slici:

Uzmimo sada kvadrat. Promatrajmo podskupove kvadrata takve da su opet kvadrati (ne nužno iste veličine). Zamislite to kao nekakav kolaž raznobojnih kvadrata koje lijepite na recimo komad bijelog A4 papira. Naši raznobojni kvadrati su od nekog čudnog papira: ako se samo dodiruju, pa čak i ako smo ih savršeno izrezali, ipak neće potpuno prekriti bijelu podlogu. Da bismo potpuno prekrili moraju se ti kvadratići malo preklapati po svojim stranicama (sjetite se, kvadratići su otvoreni skupovi). To znači da će se točke na rubovima nalaziti u najmanje dva otvorena podskupa (raznobojna kvadratića). To međutim nije najmanji broj. Ako se dvije susjedne stranice moraju preklapati s drugim kvadratićima to znači da će se vrh koji ih spaja nalaziti u minimalno tri kvadratića. Ovo je ujedno i maksimalan broj. Teško vam je to vizualizirati? Zašto ne četiri? Pogledajte sljedeću sliku, možda pomogne.

Područje zaokruženo crnim kružićima i označeno strelicama je područje u kojem se točke „oko“ vrha nalaze u samo tri od četiri preklapajuća kvadratića. Sve ostale točke na slici se nalaze ili u jednom ili u dva kvadratića. Dakle, najveći broj je 3, ne četiri. Može se zamisliti kako po prikazanom principu prekrivamo cijeli papir (ravninu). Dakle: d + 1 = 3, odnosno d = 2, tj. kvadrat (ravnina) je dvodimenzionalan.

Oke, vidimo da nam za poznate slučajeve ovakva definicija daje poznat rezultat. To je naravno jako dobro jer znači da definicija obuhvaća i prethodno znanje o dimenziji. Međutim, Lebesgueova dimenzija je općenitija. Kad su ljudi krenuli tragom Henrija Poincarea u bespuća nove discipline kojoj je on postavio temelje (topologije) brzo su se pojavili objekti/prostori koji nisu imali jednostavna algerbarska i geometrijska svojstva. Kako je pojam dimenzije jedan od temeljnih pojmova bilo je nužno pronaći način da se i takvim objektima ona odredi. Lebesgue je svoju definiciju zasnovao na prijašnjim radovima Karla Mengera, L. E. J. Brouwera i Pavel Urysohna. Zašto je to uopće bitno? Nisam još pokazao rješenje za dimenziju prethodno navedenih problema zgužvanog papira i spužve. Da bi ti problemi bili riješeni trebalo je proći još nešto vremena, međutim u samoj jezgri rješenja nalazi se upravo topološka dimenzija. Zbog toga ju je prethodno trebalo upoznati…

…to be kontinjued…

Reference:

• PlanetMath - Dimension
• SpringerLink - Dimension
• SpringerLing - Lebesgue Dimension
• Answers.com - Inductive dimension
• Kolokvijalna definicija nekih topoloških pojmova
• Answers.com - Lebesgue Covering Dimension
• Weisstein, Eric W. "Lebesgue Covering Dimension." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

Dimenzija je jedan od onih pojmova za koje nam naša intuicija i percepcija nalažu da ih intuitivno shvatimo, no kad ju je potrebno definirati, uglavnom se nađemo u neprilici. Tome je barem djelomično tako zato što postoji nekoliko valjanih definicija ovisno o kontekstu u kojem se pokušavamo orijentirati.

Pojam dimenzije je karakteristika odabranog prostora, ona identificira i klasificira taj prostor i objekte (točke) u njemu. Intuitivno je jasno da pojedini objekt u nekom prostoru ne može imati dimenziju veću od tog prostora (pokušajte ugurati kocku u komad papira: eventualno ćete je spljoštiti toliko da postane kvadrat, ali kocka kao 3D tijelo "ne stane" u papir). Kako to obično biva, intuicija je jedno a stvarnost nešto sasvim drugo, no o tome malo kasnije. Prvo bih rekao nekoliko riječi o različitim prostorima i pojmu dimenzije u njima.

Euklidska dimenzija

Pretpostavljam da je svima jasan pojam trodimenzionalnog euklidskog prostora $latex E^3 $. Zašto je trodimenzionalan? Lako se vidi da je u tom prostoru potrebno barem tri veličine da bismo opisali neki objekt: duljina, širina i visina. Npr., ako trebamo u potpunosti opisati položaj neke točke na Zemlji, možemo se koristiti trima brojkama: zemljopisnom duljinom, zemljopisnom širinom i nadmorskom visinom. Brojka tri nije slučajna. Prva definicija dimenzije koja je ljudima pala na pamet bila je upravo vezana uz ovakve situacije: Dimenzija je minimalan broj realnih parametara potrebnih da se jednoznačno opiše položaj točke u danom prostoru.

Sve formalne definicije dimenzije zapravo se osnivaju na ovoj činjenici. Npr. dimenzija vektorskog prostora $latex V^n $ (poznata još kao Hamelova dimenzija) jednaka je maksimalnom broju linearno nezavisnih vektora koje možemo postaviti u tom prostoru. Obrnuto, ako je dimenzija vektorskog prostora n, tada upravo n vektora u tome prostoru razapinju (potpuno i jednoznačno određuju) čitav taj prostor. $latex E^3 $ je vektorski prostor. Najpoznatija kombinacija linearno nezavisnih vektora u tom prostoru je zasigurno pravokutni Kartezijev koordinatni sustav. Možemo imati 3 međusobno okomite (nezavisne) osi ali ne i četiri. Analogno, u 4D prostoru bismo mogli (morali) imati sustav od 4 međusobno okomite osi, itd... I ovdje brojimo parametre potrebne za jedinstvenu specifikaciju položaja objekta u prostoru.

Kolika je dimenzija točke? Za izolirani objekt nije potreban nikakav broj da bi se specifiralo njegov položaj. Osamljena točka je i prostor i točka u jednome. Stoga ona ima dimenziju 0.

Pogledajmo sada dimenziju pravca. Pravac se sastoji od niza poredanih točaka. Sada je u prostoru pravca potrebno razlikovati pojedine položaje točaka. Najlakše je ako svakoj točki pridijelimo jedan realan broj. Kako nam je za bilo koju točku potreban jedan i točno jedan broj da bismo je razlikovali od ostalih točaka, pravac je kao skup točaka (0-dimenzionalnih objekata) jednodimenzionalan.

Što je s ravninom? Ravnina je također skup točaka. Ujedno ona je i skup pravaca. Da bismo odredili položaj točke u ravnini moramo odrediti na kojem je pravcu i njen položaj na tom pravcu. Dakle, potrebna su nam dva broja. Ravnina je stoga dvodimenzionalna.

Analogijom se ovo može proširiti i dalje, međutim, već na ovom jednostavnom primjeru iskrsavaju problemi. Napravimo mali eksperiment. Uzmite komad papira. Papir dobro aproksimira pojam ravnine (za razliku od ravnine papir ima debljinu i ograničenu površinu ali to možemo ovdje zanemariti) te ga zato možemo smatrati dvodimenzionalnim prostorom. Sada taj komad papira zgužvajte u kuglu. Nakon toga ispravite papir i pokušajte ga zagladiti. Kolika je sada dimenzija papira? Pitanje nije tako jednostavno kako se čini. Debljina papira sada nije više zanemariva (imate svojevrstan krajolik na papiru koji se sastoji od brda i dolina). Mogli bismo reći da je papir postao trodimenzionalan jer sada možemo govoriti i o visini na kojoj se neka točka nalazi na papiru. S druge strane, ako povučemo crtu na tom zgužvanom papiru ona je evidentno dvodimenzionalna. Izgleda kao da naš zgužvani papir ima dimenziju veću od 2, a opet dimenzija mu nije 3.

Još jedan zgodan primjer: kolika je dimenzija spužve? Ilustracije radi zamislite u kocku oblikovanu spužvu s velikim, jasno vidljivim rupama. U prvi mah rekli bismo da je trodimenzionalna. Međutim, sama površina te kreacije nije samo ono što vidimo izvana već i gomila mjehurića unutar nje. Zamislite sada da ste se vi i vaš prijatelj smanjili na veličinu od svega nekoliko dijelova milimetra. Obojica živite na spužvi, svako na svojoj vanjskoj strani. Čuli ste da je nedavno negdje u centru otvoren jazz klub i odlučite se naći tamo da vidite na što to liči. Pitanje je, kako ćete specifirati adresu tog mjesta? Jesu li nam za položaj bilo koje točke na ukupnoj površini spužve (znači, ono izvana i svi mjehurići iznutra) dovoljna dva broja s obzirom da je riječ o plohi? Ili su nam možda potrebna 3 broja koji će nam na neki način odrediti na koji mjehurić mislimo i gdje na plohi tog mjehurića se nalazi željena točka? Ili možda…ali ne to bi bilo suludo, no ipak, možda nam treba neki broj između dva i tri?

Vidimo da jednostavno brojanje parametara nije dovoljno za jednoznačno određivanje dimenzije nekih prostora (još nekoliko zanimljivih demonstracijskih primjera koji pokazuju slične probleme s ovakvom definicijom moguće je vidjeti ovdje). Uglavnom, definicija zahtjeva mali „popravak“…

…to be kontinjued…

Reference:

• Dimension - Wikipedia
• Dimension - from Wolfram MathWorld
• Euclidean Dimension - ChaosHyperthext book

Rođenje čudovišta

Kao i za sve velike događaje, tako je i za ovaj poznata samo približna vremenska koordinata. Naime, po dostupnim podacima evidentno je da se događaj zbio 1904. godine. No, točan trenutak rođenja ove bizarne ideje nije poznat a najvjerojatnije nije bio poznat ni onom tko ju je iznašao (pitanje bi li povijest bila zanimljivija i općenito bolja kad bi se pamtile takve točne vremenske koordinate je za relevantno samo cinicima i onima koji znaju nešto o fizikalnoj nemogućnosti mjerenja takvih koordinata pa ga ovdje neću produbljivati). Daklem, 1904. godine švedski matematičar Helge von Koch je opisao postupak za dobivanje i uzgoj vlastitih čudovišta (u dokumentu naslovljenom "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire"). Ono što je predložio mogao je izvesti svatko s malo papira, škarama ili besposlenim mozgom koji ima kakvu-takvu mogućnost vizualizacije. Koch je svoje otkriće smatrao zanimljivom matematičkom dosjetkom. Tek će šezdesetak godina poslije jedan matematičar povući neobičnu paralelu koja povezuje naše čudovište s obalom Velike Britanije i time otvoriti put revoluciji. To je pak tema jednog od sljedećih članaka...

Kak to zgleda?

Postupak je prilično jednostavan. Počnete od svima poznatog i nimalo neobičnog jednakostraničnog trokuta. Uklonite srednju trećinu svake stranice. Na prazna mjesta dodate novi jednakostranični trokut. Uklonite bazu dodanog trokuta. Ponavljate postupak dok je svijeta i vijeka i još malo poslije (tj. beskonačno) za svaki trokut koji vidite. Rezultat prvih nekoliko koraka je prikazan na sljedećoj slici:

Nije strašno, zar ne? Ne tresu vam se gaće? Ne razmišljate o tome da ugasite komp i prošećete malo po kvartu sa psom pretresajući pitanje o životu svemiru i svemu ostalom? Nisam ni mislio, ali strahote tek počinju...

Prvo lagano pitanje...

Koliki je opseg naše krivulje? Ovaj izračun nije teško napraviti. Neka je n broj iteracijskih koraka. Tada u svakom koraku možemo definirati sljedeče veličine:

• $latex N_n $ = Broj stranica u svakom n-tom koraku
• $latex l_n $ = duljina jedne stranice u n-tom koraku
• $latex O_n = $ Opseg krivulje nakon n koraka = $latex L_n * O_n $

Iz slike je vidljivo da nakon svake iteracije broj stranica poraste za faktor 4.
Ako duljinu stranice početnog trokuta označimo s $latex a $, onda je $latex N_0 = 3 $ a $latex N_n = 3 * 4^n $. Nadalje, u svakom koraku je duljina stranice manja za faktor 1/3 od stranice prethodnom koraku, tj. vrijedi da je $latex l_n = a \dfrac{1}{3^n} $ Dakle, opseg krivulje je

$latex O_n = N_n * l_n = 3a * \left( \dfrac{4}{3} \right)^n $

odnosno

$latex \lim_{n \to \infty} O_n = \lim_{n \to \infty} \left[ 3a * \left( \dfrac{4}{3} \right)^n \right] = \infty $

Prevedeno na jezik običnih ljudi, opseg krivulje nakon beskonačno mnogo koraka je - beskonačan.

Drugo lagano pitanje ...

Kolika je površina koju zatvara Kochova pahuljica? Označimo za početak površinu polaznog istostraničnog trokuta kao:

$latex P_0 = \dfrac{\sqrt3}{4}a^2 $

Kako se u svakom koraku iteracije dodaju"mali" trokuti na postojeću površinu i kako je duljina stranice svakog takvog"malo" trokuta 1/3 puta manja od stranice u prethodnom koraku, površina tog malog trokuta u n-tom iteracijskom koraku iznosi:

$latex P_n' = \dfrac{\sqrt3}{4}\left( \dfrac{a}{3^n} \right) ^2 = \dfrac{P_0}{9^n} $

Koliko takvih trokuta dodajemo? Iz slike se vidi da (ako je n redni broj koraka iteracije) vrijedi:

dodanih "malih" trokuta. Stoga možemo pisati:

Ako raspišemo prvih nekoliko članova dobivene formule može se vidjeti da je konačni oblik zapravo:

$latex P_n = P_0 \left\lbrace 1 + \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{4}{9} \right)^0 + \left( \frac{4}{9} \right)^1 + \left( \frac{4}{9} \right)^2 + \left( \frac{4}{9} \right)^3 + ... + \left( \frac{4}{9} \right)^{n-1} \right] \right\rbrace $

Odnosno:

Na kraju vidimo da je površina nakon beskonačno mnogo koraka - konačna. Nije vam se upalila lampica? Još uvijek bezbrižno čitate?

Zaključak od kojeg se tresu gaće

Kochova pahuljica na jednostavan način demonstrira jedno od poznatih svojstava fraktala. Beskonačno dugačka granica zatvara konačnu površinu. Ovakvi objekti su početkom prošlog stoljeća izazivali pomutnju među matematičarima ali sve do pedesetih godina istog stoljeća nisu imali široki krug proučavatelja. Dijelom zato jer nitko nije uvidio da postoji veza među mnogim takvim objektima (da, čudovište nije jedino!!!), a drugim dijelom zato što je tadašnja matematika bila zaposlena pokušajima restrukturiranja samih svojih temelja koji su se pokazali problematičnima (npr. 1902.g. Rusellov paradoks) pa su se ove stvari činile egzotične i trenutno irelevantne.

Čudovište je jedan od najstarijih poznatih fraktala. Paradoks konačne površine omeđene beskonačno dugom krivuljom rješen je otprilike istovremeno kad je nastao pojam fraktal. Nakon što je Madelbrot definirao objekte koji mogu imati decimalnu dimenziju i nazvao ih fraktalima, pokazano je da dimenzija Kochove pahuljice iznosi približno 1.26. O fraktalnim dimenzijama u jednom od sljedećih članaka...

I zanimljivost za kraj

Stari Grci su prvi javno priznali ono što se prešutno smatralo istinom tisućama godina prije njih: kružnica je savršen geometrijski lik. Kakve to veze ima? Prvo, površina koju zatvara Kochova pahuljica je u svakom koraku iteracije veća od površine inicijalnog trokuta. Postoji li gornja granica? Naravno, inače površina ne bi bila konačan broj. Uglavnom, može se pokazati da je dana površina uvijek manja od površine inicijalnom trokutu opisane kružnice. I ne samo to: Sama krivulja nikada ne prelazi granicu te kružnice. Beskonačno dugačka krivulja zarobljena je konačno dugačkom i još k tome savršenom krivuljom: kružnicom. Da se čovjek zamisli...

Reference

• Fractal math patterns
• Wolfram Mathworld
• Maths.org
• Nonscience.info